Et si, après tant de valses-hésitations, de reculades et de faux semblant, je vous parlais enfin de Voronoï ? Quelle est encore cette bête là ? La définition à peu près officielle est celle-ci :

« Le diagramme de Voronoï est un pavage du plan en cellules construites à partir d’un ensemble discret de points appelés « germes ». Chaque cellule enferme un seul germe, et forme l’ensemble des points du plan plus proches de ce germe que de tous les autres ».

Bon, comme d’habitude, on y comprend pas grand chose. Sans doute encore une de ces pignolades mathématiques ? Ci-contre une animation un peu plus claire :
En jaune, les points, en vert, le diagramme de Voronoï, et en bleu, ce qu’on appelle une triangulation Delaunay. Ou plutôt, avant que le nom ne soit francisé (?), celle du russe Boris Delone (1890-1980). Qui repose donc elle même sur les diagrammes de Voronoï.

Vous trouverez plus d’informations sur cette géométrie dans cet excellent article d’interstices.

Toujours est-il que c’est le mathématicien russe Georgi Fedoseevich Voronoï (1868 – 1908) qui formalisa ce procédé et l’étendit même à n dimensions…

On est bien contents. Mais à quoi ça sert de couper la pizza en petits morceaux ? Et bien à deux choses fondamentales : l’interpolation ou la décimation (simplification). Je m’explique.

Quand on explore le sous-sol, les fonds marins, ou le corps humain en imagerie numérique, par exemple, on est sans cesse confronté à la nécessité de reconstituer une surface en ne connaissant que certains points. Là où on a fait des mesures. Il faut interpoler ! Et c’est là que la plupart des algorithmes utilisent la triangulation Delaunay/Voronoï.

Pour reconstituer une surface, l’avantage est double :

• Moins de points de mesure nécessaires
• Un niveau de précision paramétrable.

Et ce dernier point est fondamental. En effet, la puissance des processeurs de nos ordinateurs n’est pas infinie (voyez comme votre PC Windaube raaaame). Elle est même très limitée comparée à la perception de nos sens, sans parler de la réalité. Pour modéliser (reproduire) celle-ci, il faut recourir à des artifices, des approximations, des simplifications, avec toujours ce compromis entre quantité de données à traiter et fidélité de la reproduction.

Ainsi, en principe, on pourrait décrire la salle des taureaux de la grotte de Lascaux avec 3 points. Mais on y verrait pas grand chose… Avec 1000 points, on pourrait se rendre compte qu’on est dans une grotte. Avec 100000 points, apparaitraient les couleurs, les taureaux et pour dix millions de fois plus, la subtile texture du calcaire. Enfin, une infinité de points correspondrait à la réalité. Mais il n’y a pas besoin d’une infinité de points pour la décrire et tromper nos pauvres sens humains. Les jeux en réalité virtuelle vous en convaincront bientôt…

En modélisation 3D, dans les jeux vidéos, tout l’art est de savoir simuler la réalité avec le minimum de données pour pouvoir afficher les données en temps réel. Les techniques du « low poly » pour ménager le temps de calcul. On retrouve ces fonctions de simplification de surface dans beaucoup d’outils de lissage, comme dans les logiciels TopMod, Meshlab…

Après cette longue intro qui vous a déjà sans doute déjà explosé le pariétal gauche, j’en viens là où je voulais en venir. Où voulais-je en venir, déjà ?… Oui ! La nature…

Retour à la nature

J’habite dans une pinède au milieu de calanques. Si bien que l’automne venu, les bolets jaunes nous poussent littéralement sous les pieds. L’occasion de randonnées prédatrices, plus ou moins verticales. J’en étais là de mes réflexions, le regard perdu dans les rayons de lumière orangée striée de pins quand j’entendis cette voix :

« Donnez moi les diagrammes de Voronoï et les fractales et je couvrirais la Terre de forêt ! » s’égosillait le Tout Puissant…

Et de fait, qu’est de plus cette pinède qu’un diagramme de Voronoï vu d’avion ? Allons jusqu’à percer l’écorce, y pénétrer : mais ce pin n’est qu’un squelette de lignite ! Une éponge de Voronoï ! On nous fait prendre des vessies pour des lanternes.

Comme si la nature, elle aussi, utilisait ce mode de simplification de surface ? Et pour les mêmes raisons : réduire le nombre d’informations nécessaires ? Les multiplier à l’infini, de façon fractale avec une grande économie de moyens et donc de ressources ?

On retrouve ces diagrammes partout dans la nature. Argile craquelée, robe de la girafe, de la murène, structure interne des os… A chaque fois, ces structures en résille présentent plusieurs avantages : économie d’information et reproduction à l’infini, économie d’espace, minimum de matériau par unité de volume, meilleure robustesse… C’est connu, le roseau plie mais ne rompt pas 😉

Synthèse !

Toujours est-il qu’en imagerie numérique, et même dans un simple programme bureautique d’ordinateur, Voronoï est partout, parfois sans qu’on le sache. J’ai essayé sur mes logiciels favoris et j’ai bien sûr trouvé les diagrammes de Voronoï soit en natif, soit par l’intermédiaire de plugins.

Avec Apophysis

Sur Apophysis, le plugin Crackle et en 3D, le bruit de Perlin. C’est avec une texture semblable, cette fois sur le logiciel Terragen, que j’ai généré cette plaine de stromatolithes sur quelque planète lointaine et pourquoi pas sur Pluton ?

Sur JWildfire

Avec le successeur d’Apophysis, j’ai nommé JWildfire, on peut appliquer Voronoï sur des fractales, ce qui donne des résultats assez… Organiques !

Ou utiliser en surcouche pour générer cette texture de verre cassé sur les trèfles à 4 feuilles…

Avec Incendia

Dans Incendia il est possible depuis longtemps de synthétiser des solides divers, percés « à la Voronoï »…

En 3D

Avec les logiciels 3D, il y a moyen d’exploser les polygones triangulaires en réseau de cellules Voronoï, ce qui est bien plus élégant et nous rapproche des formes naturelles, comme les radiolaires, par exemple…

Et qui se prête ensuite à toutes sortes d’extrusions. Voici d’autres délires voronoïaques basés sur ce principe, cheval à trous, cellule d’alu anodisé, femme comblée, fraise météoritique…

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Attention, à partir de maintenant, vous allez voir Voronoï partout ! Dans cette tranche de pain de mie, aussi, oui. 😉