La surface de Boy

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La topologie est la science des surfaces ; cette partie de mathématiques qui s’occupe des formes, des transformations entre-elles et de leur classification souvent contre-intuitive. Ainsi, sont considérées comme semblables topologiquement des surfaces qui peuvent se changer les unes en les autres par de simples déformations. Par exemple, un cube est le même objet qu’une sphère ! Par contre, pour obtenir un tore à deux trous (une « fougasse »), il faut impérativement « molester » le tore initial et lui creuser un autre trou : les deux objets sont différents !

Sommaire

Toujours est-il que cette nouvelle discipline (inventée et formalisée par Henri Poincaré) a permis à un certain nombre de pervers d’inventer ou de prédire des formes invraisemblables mais qui pourtant existent ; dans notre monde à 3 dimensions ou dans des dimensions supérieures…

Le visionnaire

Werner Boy (1879 – 1914) est le découvreur éponyme d’une de celle-ci : La surface de Boy. C’est une projection tridimensionnelle d’un plan (surface) projectif réel sans la formation d’une singularité, ce qui était la première de la sorte.

Il l’imagine en 1902, suivant ce qu’en disait son maître David Hilbert qui essayait quant à lui d’en réfuter l’existence. Mais, sans ordinateurs, Boy ne pouvait pas dessiner un modèle paramétrique de cette forme. C’est le Français Bernard Morin qui le fera en 1978 !

Ce solide à ensuite été étudié mathématiquement et de manière approfondie par Jean-Pierre Petit et Jérome Souriau en 1981.

J’avoue qu’avoir eu cette idée dans les années 1900 et « visualiser » ce solide sans l’utilisation de l’informatique qui n’était pas encore inventée me confond… Mais ces gens ne sont pas câblés comme tout le monde…

Jean-Pierre Petit dit d’ailleurs de lui : Boy imagina un jour que « l’espace projectif de dimension 2 » pouvait faire l’objet d’une représentation dans l’espace 3D sous forme d’une « immersion ». Hilbert fut très intéressé par cette découverte majeure. Il dit à son élève « on en reparlera après l’été », puis il partir en vacances. A son retour il attendit vainement le jeune Boy. Il avait résilié sa location chez sa logeuse et s’était… volatilisé. Hilbert se mit vainement à sa recherche, en vain.

On ne sait même pas où il est enterré. On sait juste qu’il est mort à 35 ans, lors de la bataille de la Marne, près de Vitry le François durant les premières semaines de la Première Guerre mondiale. Encore un beau gâchis !

A propos de Jean-Pierre Petit, notre iconoclaste scientifique, je recommande sa série de bandes dessinées de vulgarisation, téléchargeables gratuitement et qui offrent un autre regard facétieux sur de nombreuses bizarreries mathématiques…

Sous la surface…

Voilà donc encore une bête plus dérangeante que la bouteille de Klein qui reboucle sur elle même. C’est topologiquement une sphère creuse retournée sur elle même mais qui n’a qu’une seule surface et pas de bords !

La surface de Boy peut aussi être « vue » comme une sphère dont on a recollé deux à deux les points antipodaux, ou encore comme un disque dont on a recollé deux à deux les points diamétralement opposés de son bord. On peut également la construire en recollant le bord d’un disque sur le bord d’un ruban de Möbius. On obtient ainsi une représentation du plan projectif et donc de la surface de Boy. Pour y parvenir, la surface doit nécessairement se traverser (dans notre espace 3D). Pour y voir plus clair (!) voici la vidéo « pas à pas » de sa construction, réalisée par Jos Leys.

Ou encore : Un autre rendu de la vilaine bête. Attention : à trop regarder ces figures du diable on peut ressentir de violents maux de tête !

Modélisons !

Regarder, c’est bien, mais faire soi-même, c’est mieux ! Pour ma part, je ne résiste jamais au plaisir de mettre les mains dans le cambouis pour trifouiller le bazar. Plusieurs méthodes sont possibles à cet effet, en utilisant les paramètres de Bryant–Kusner dont voici un aperçu de la formule :En utilisant Blender, on peut bien sûr se cogner la programmation « en dur ». Voici un aperçu du code Python utilisé mais je vous assure, ce n’est pas pour vous faire peur !

Ou encore, on peut aussi entrer la formule ci-dessus dans Geometry nodes pour obtenir une arborescence bien touffue comme on les aime. Bon courage !

Troisième solution (pour les nuls où les feignasses dont je fais partie) : Ouvrir les Préférences de Blender et utiliser un add-on qui fera apparaître dans la génération de meshes un nouveau menu de « surfaces mathématiques » et entrer les paramètres.

Ou (plus simple encore) utiliser les préréglages dans lesquels se trouvent la fameuse surface convoitée !

Voici donc mes premières tentatives de modélisation de la bête sur Blender 4.43…

: Foutu !

: Bronzé.

: Vermeil…

: Fraisé.

: Du bois dont on fait la Boy.

: Variole du Boy.

: Boy de Noël.

: Vitreux…

Et finissons-en !

Quand aux autres outils, j’ai nommé l’IA, malheureusement, elle semble avoir de gros problèmes en raison de l’homonymie de Werner Boy avec les petits garçons… Même dans le style « carte à gratter » ! Jouons aux cubes…

Allez, pour la route, voici une représentation de la bouteille de Klein, autre diablerie à une seule surface et sans bords, dans la lignée du ruban de Moebius et des surfaces de Boy…

Même si cette bouteille de Klein (surface en 2D) n’est représentable dans notre espace 3D que grâce à un croisement. Celui-ci disparait quand on le considère dans un espace 4D. Comme par exemple un tore (sans croisements) est représenté en 2D (projection de l’espace 3D vers 2D) avec deux croisements. Même si on est habitué à ce type de visualisation et qu’on n’y fait plus attention ; aux croisements…

: Bouteille de Klein. Projections successives de l’espace 4D vers 3D puis 2D…

: Tore 3D projetté (représenté) en 2D : croisements obligatoires !

Comment ne pas mentionner ici également mes délires hypersphériques en 4D, déjà publiés précédemment ?

Allez, pour finir, l’impressionnant dessin au tableau noir d’un cube de Boy réalisé à main levée par le « sculpteur de fractales » Jean Letourneur. inspiré par les travaux de Jean-Pierre Petit.

Roses, les cachets, Régis !… Les roses !!!