Après les découvertes fondatrices de Benoit Mandelbrot, quelques mathématiciens se sont essayés à généraliser le célèbre ensemble et à le rendre multi-dimensionnel : ce fut l’avènement des « bulbs » et autres solides fractals, baptisant naturellement de leurs noms ces curieuses bizarreries géométriques nouvellement découvertes. Parmi eux, Rudy Rucker et sa fameuse « RuckerBulb » ainsi que Doug Bristor qui construisit le modèle 3D « Bristorbrot » en 1995.

Doug Bristor

Doug Bristor est un chercheur indépendant basé à Cambridge, au Royaume-Uni, connu pour ses travaux en modélisation fractale multidimensionnelle et également pour son militantisme végan.

Alors coordinateur IT, Doug a développé ce modèle fractal à partir d’algorithmes personnalisés permettant une visualisation dynamique de la complexité temporelle et dimensionnelle. Contrairement au Mandelbrot classique (2D), le Bristorbrot intègre en effet une rotation multidimensionnelle, rendant visible des structures infiniment détaillées en 3D et au-delà. Il est en effet possible de l’explorer en 3, 4 et même jusqu’à 7 dimensions via des mathématiques rotationnelles complexes.

Depuis 1995, Doug Bristor a affiné ce modèle, le rendant visualisable interactivement pour illustrer des concepts comme ceux de la dimension fractale et de l’itération infinie. Ses travaux lient aussi les fractales à des thèmes philosophiques et éthiques, en lien avec son militantisme végan.

Son site fractaldimension.org.uk présente ainsi ses fractales générées par ses algorithmes, illustrant la complexité temporelle et dimensionnelle. Actif aussi sur Facebook et via sa chaîne Youtube, il partage des contenus sur ses explorations et découvertes.

La formule du Bristorbrot !

Dans le cas de l’ensemble de type Mandelbrot, l’itération se note en général sous la forme :

où z et c sont des triplets 3D (ou hypercomplexes 3D) et la puissance z² est définie par une multiplication non standard, différente de la multiplication classique des quaternions.

L’originalité du Bristorbrot tient à la définition de la multiplication entre les “unités” 3D (par exemple 1,i,j) qui réalise certaines rotations fixes dans l’espace, imitant la notion de carré mais avec une géométrie 3D particulière. Concrètement, on a :

i²=-1

j²=-1

Mais i x j et j x i ne sont pas égaux ni purement imaginaires, ce qui donne une algèbre non commutative qui produit la structure 3D caractéristique du Bristorbrot.

A quoi ça ressemble ?

Un grand nombre d’applications ont intégré dans leurs paramètres la formule (relativement simple) du Bristorbrot. Je l’ai d’abord essayée avec Mandelbulb3D…

Et l’on obtient quelques oeuvres d’art en métal précieux, insectes d’outremondes, vagues scélérates ou, avec les variations de paramètres (x, y, z) et le mode « Julia », d’onctueux quaternions ou de croustillants « caldi »…

Hybridations du Bristorbrot

Il est tentant de combiner le Bristorbrot avec d’autres variations : on obtient de la sorte quantité d’autres formes étranges…

Couper le Bristorbrot en deux

Avec la technique des coupes, on retrouve sans surprise l’ensemble de Mandelbrot au sein du Bristorbrot. Du coup, je suis allé explorer la vallée des sceptres. ou des dragons, c’est comme on veut…

Pour mettre en évidence ce paysage vertigineux et infini qui, injecté dans l’IA Midjourney, m’a donné cette évocation de la colonisation de Mars…

Et toujours, partout, tout le temps, infiniment : l’ensemble de Mandelbrot…

D’autres logiciels comme Mandelbulber, Ultrafractal, Fragmentarium et sans doute le nouveau « Mandelbro », plugin de JWildfire Swan intègrent aussi la formule du Bristorbrot.

Avec Mandelbulber

Avec la nouvelle version (2.34) la génération des fractales volumiques et surtout la navigation a été grandement améliorée et est devenue un plaisir ! D’autant que les développeurs ont (enfin) pris en compte les nouvelles puces Apple « Silicon » tout-en-un M2, M3, M4, etc, et pour ma part 12 coeurs communs CPU/GPU. Je n’ai pas encore percé tous les secrets de la bête mais on dispose du rendu Monte Carlo, de la gestion des transparences, et des dés multicolores (laids mais bien pratiques) qui permettent de randomiser quantité de paramètres (textures, formes, etc) de façon très simple. Il n’y a pas moins de 3 saveurs de Bristorbot proposées. Voici ci-dessous quelques résultats « bruts de décoffrage »…

Mais il est possible d’aller plus encore plus loin dans le domaine de l’environnement, de l’éclairage et du texturage, en intégrant même cette figure fractale dans des scènes 3D plus conventionnelles…

Dans Blender avec Octane

Avec la technique « Vectron » il est en effet possible de créer des shaders dans le moteur de rendu Octane, qui est gratuit et facile à intégrer dans Blender grâce à des formules OSL adaptées comme nous l’avons déjà vu.

C’est le meilleur des deux mondes avec, il faut bien le reconnaître, des possibilités d’éclairage et de texturage bien supérieures aux logiciels de génération de fractales dédiés. Il est également possible d’intégrer ces solides étranges dans des scènes 3D complexes, au même titre que les autres modélisations. Il faut accepter pour cela un saut dans la complexité : se servir d’Octane, même quand on connait Blender est un chemin de croix…

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