Je suis très présent, on le sait, de manière compulsive, et comme tant d’autres infortunés cliqueurs, bien accro au « réseau social » conçu expressément dans ce but (rendre ses utilisateurs dépendants) et qui récompense à la louche ses plus anciens et fidèles usagers par de sporadiques mises à l’index, avertissements, radiations et autres « modes restreints », au gré de l’actualité et des règles mouvantes de la censure.

Bref, j’administre vaille que vaille mon profil et pas mal d’autres pages associées et il advient que je m’emmêle les crayons en publiant ce qui était prévu pour ceci sur cela. Ainsi, croyant partager sur la page Fractal Art, je publiais une nouvelle sur mon profil, où j’use traditionnellement d’un ton plus léger.

De toute façon, j’étais en proie aux affres du cachot – facebagnard condamné pendant 3 mois – gémissant seul dans le désert : personne ne lirait et je décidais de l’y laisser. Après tout. A quoi bon ?

Le feu aux poudres

Voici à peu près quelle était la teneur du message : « Je me suis endormi hier en réfléchissant à l’extension de ce concept (courbe de Koch) dans des espaces à multiples dimensions. Commençons par la dimension 3. Avec un des solides parfaits platoniciens, un tétraèdre, mettons… Extrudons d’autres tétraèdres au milieu de chaque faces. Puis au milieu de chaque nouvelles faces et ce à l’infini. On obtiendrait (intuitivement ?) une espèce de sphère rugueuse qui ne serait pas sans rappeler une Mandelbulb à angles aigus. Un cristal de songes… Procédons de même avec un tétraèdre plus grand, en extrudant cette fois les faces vers l’intérieur un même grand nombre de fois. On devrait pouvoir obtenir cette fois un tédraèdre « creux » à la façon d’un cube de Menger ou d’une pyramide de Sierpinsky (de surface infinie mais de volume nul) capable de contenir parfaitement le premier solide. Il faut que je programme un truc pour tester ces possibilités. Et générer ce fameux solide « flocon de Koch 3D » que nous appellerons « boule de neige » ! Mais qu’en serait-il de l’extérieur du deuxième solide « bouché » par le premier ? La troisième dimension semble m’empêcher de le visualiser. Et en 4D ? Et en 5D… ?!? »

Ceci faisait suite au visionnage de l’excellente vidéo de Mickael Launay qui, exerçant son sacerdoce sur YouTube avec sa chaîne « MicMaths », fait oeuvre inlassablement de vulgarisation mathématique (vaste programme). Au détour de l’une de ses prises de tête, j’étais interpellé par cette vidéo qui traitait des fractales de Von Koch et de leur parfait emboîtement… Ce qui généra chez moi cette transe multidimensionelle… Nous délirions déjà ici sur ce fameux flocon qui présente l’incroyable paradoxe d’être d’une surface finie mais d’un périmètre infini !

Toujours est-il que ce billet publié par erreur sur mon mur généra un succès d’estime (voilà qui changeait du Covid de sens et des gilets jaunes !) et je constatais que tout le monde avait déjà réfléchi à la généralisation du processus, bien entendu. Escher lui même n’était pas le dernier… Youtube s’enflamma à son tour et plusieurs petits malins (petits démons ?) y allèrent de leurs vidéos paradoxales pour apporter leur goutte d’eau au moulin de l’infini…

Avec JWildfire : Koch sportif !

On peut générer cette « courbe de Koch » avec un grand nombre de logiciels. Voici quelques essais avec l’un de nos générateurs de fractales favoris, JWildfire. A base de variations « linear3D », en trifouillant les réglages au prix d’efforts démesurés : et voilà comment je suis passé de la complexité, du chaos, à la courbe désirée…

Du neuf « à la Koch » ?

En cherchant un peu, j’ai trouvé sur Fractal Forum une série de publications bien hermétiques (forcément) sur ce sujet qui me turlupinait : la génération d’un flocon de Koch en 3D. Des solutions existaient, c’est sûr. Des pistes de réflexion que j’ai dû abandonner plusieurs fois, au bord de l’AVC…

Sur Ultrafractal, rien de mirobolant : Une formule adaptée du L-System permet effectivement de générer une ligne de Koch… On est bien content ! Et sur Incendia, point de salut : je n’ai pas réussi à trouver la formule secrète pour générer mon flocon en 3D. Ci-dessous les piteux rendus de mes navrantes tentatives. Une primitive triangulaire, Un peu d’IFS, de Julia, l’attracteur de Gumosky – Mira, des symétries tétraédriques : un parfum de triangles, un relent, que dis-je, « l’essence » diaphane du tétraèdre convoité…

Du côté des « mandelbulbeux » il y a bien une équation appelée Koch Cube. Et même six variations en tout qui font allusion à Koch ! Mais bien sûr, les explications sibyllines concernant ces formules sont restées pour moi aussi claires que du coréen ancien…

Toutefois, je n’ai pas pu résister à jouer avec Mandelbulb3D, pour essayer de visualiser ce « succube »… Mais mes compulsives manipulations pour faire naître un flocon de Koch en 3D sont restées désespérément vaines, elles aussi. Tout au plus accouchais-je d’un agaçant octaèdre plein de courants d’air !

 

 

 

 

A la place, j’ai tripoté un moment la « Surface de Koch » pour enfanter finalement ce récif de corail mou, quelque-part sous les eaux de Komodo… On se console comme on peut.

Sur Mandelbulber enfin, il existe bien une espèce d’IFS Kaléidoscopique qu’on peut bricoler à loisir même si je m’éloigne un peu du concept initial de l’extrusion négative de tetraèdres dans chaque face d’un tétraèdre initial (opération à recommencer, ad libitum).

Voici, à différents degrés de vacuité, un autre solide platonicien : toujours un octaèdre (en cuivre – ça conduit mieux le flux des idées) en « creux » (on retire des figures au lieu de les ajouter), façon éponge de Menger ou pyramide de Sierpinsky (surface infinie – volume nul), censé contenir parfaitement le « succube » positif, comme évoqué dans mon message publié sur Facebook. Ce n’est pas gagné…

 

 

 

 

Mais bien sûr, impossible de s’arrêter en si bon chemin : est venu le temps des rotations géométriques dans l’espace sur les trois axes. Notre octaèdre de Sierpinsky se transforme peu à peu en broccoli cuivré, en pain craquelé et… Tout ce que vous voudrez ! Histoire de montrer tout ce qui se cache dans un simple solide platonicien…

Avant de finir au bord de cette mer extraterrestre, au périmètre en forme de ligne de Koch et qui illustre à sa façon le problème lancinant de la « longueur » des côtes, fussent-elles octaédriques. La baignade, toutefois, n’est pas conseillée…

Mais entre temps, le machiavélique matheux était revenu à la charge (je n’étais pas le premier à réfléchir au paradoxe) et révélait devant mes yeux effarés que l’équivalent de la fractale de Koch en 3D n’était pas une sphère rugueuse comme je le pensais initialement mais ni plus ni moins qu’un cube parfait ! Encore une diablerie ! Grillé au poteau par O combien plus savant que moi ! Chou blanc. Enfin… Romanesco.

Foin des logiciels de fractales, si j’en ai le courage, il faudra que je tente cette modélisation sur Blender (du tétraèdre au cube : je veux voir !) Où quelque autre logiciel de 3D. Les matheux et autres scientifiques (Jos Leys – Chloé Bouchaour, auteur des illustrations animées de Mickaël Launay…) s’ingénient à faire tourner le vieux modeleur « Persistence Of Vision Ray » à coup de scripts obsolètes et de formules cabalistiques, sous prétexte qu’il est gratuit (Blender aussi). Pour des résultats certes efficaces mais avec des rendus d’un mauvais goût remarquable. Mais peut être que le logiciel n’y est pour rien… En tout cas l’usage a contracté son nom en « POV Ray » et, je sais, c’est bête, mais je n’ai jamais pu m’empêcher d’entendre « pauvre ray » ce qui a toujours jusqu’à présent exclu ce soft de mon Panthéon numérique…

Nous terminerons la relation de cet échec cuisant avec cette vidéo de vulgarisation de Guillaume Saes, assistant en recherche à l’université de Mons (Belgique), titulaire d’un doctorat de mathématiques à l’Université Paris-Est Créteil, membre du Laboratoire d’Analyse Mathématiques Appliquées, enseignant agrégé de mathématiques (fermez le ban !) Un rafraichissement tour d’horizon plus général, une bonne présentation du monde des fractales et des dimensions fractionnaires dans lequel on retrouve bien sûr notre énigmatique flocon de Koch…