Du train où les asiatiques pêchent les hippocampes pour leurs prétendues vertus thérapeutiques, il n’y en aura bientôt plus que dans l’ensemble fractal de Mandelbrot. Heureusement, ils y sont en nombre infini…
zn+1 = zn2 + c
Voilà l’équation qui définit le célèbre ensemble de Mandelbrot. Nous avons déjà vu que cet ensemble regroupe tous les ensembles de Julia. C’est peu dire que ce monstre mathématique renferme des trésors à explorer… Avec le logiciel Ultrafractal, par exemple.
Parmi eux, la très connue « vallée des hippocampes » (au voisinage de C=-0,75) qui se trouve dans le pli entre le cardioïde principal (le gros fesson variqueux noir – certains y voient un cœur…) et la première boule à sa gauche.
Cette région est particulièrement riche en détails, et très intéressante d’un point de vue graphique. On y rencontre quantité de spirales doubles (les fameux hippocampes) qui sont elles mêmes infinies et laissent apparaître à un moment ou un autre les « minibrot » qui sont la réplication de l’ensemble principal, parfois déformé, comme on le voit ci-dessous.
Curiosité mathématique, on peut aussi considérer l’exploration de l’ensemble de Mandelbrot comme un voyage particulièrement aventureux pour lequel il faut des cartes ou tout au moins des repères…
Quelques autres Julia remarquables
C=i : la dendrite de Julia, qu’on retrouve entre autres sur les parties extérieures de l’ensemble, à la hauteur de ce qui semble être des droites…
C=-0,75 (et aussi C=-1) : la basilique (ou dragon de San Marco), ainsi appelée car la forme de cet ensemble rappelle celle de la basilique San Marco à Venise, se reflétant dans l’eau…
C=-0,391+0,587i : le disque de Siegel. Vous avez dit disque ? Vous voyez un disque, vous ? Ceci ressemble en fait fortement à la forme extérieure de divers nudibranches, planaires et autres créatures marines glutineuses…
C=-0,123+0.745i : le lapin de Douady (aussi appelé dragon de Douady). Pour moi, il n’y a ni lapin ni dragon mais un morceau d’estomac. Enfin, c’est vous qui voyez… Toujours est-il qu’en visitant l’ensemble de Mandelbrot, il est possible de faire sortir plus d’un lapin du chapeau !
C=-1,401155 : le point de Myrberg-Feigenbaum est situé à la limite de la suite des disques tangents centrés sur l’axe réel, à gauche de la cardioïde. Cette valeur correspond à la fin d’une cascade de doublement de périodes et est calculée à partir de la constante universelle de Feigenbaum. Zone particulièrement complexe, une conjecture est reliée à ce point… Pratiquement tous les logiciels de génération de fractales comportent l’ensemble de Mandelbrot dans leurs arcanes et même en 3D et plus…
Les hippocampes, en relief !
En relief, avec Mandelbulb3D, l’exploration de cette vallée donne ces canyons infinis : attention à ne pas trop s’approcher des bords ;-)…
Ces images fractales « classiques » (tout au moins celles en deux dimensions) firent fureur dans les années 70, en pleine vague psychédélique. On comprend pourquoi…
Le cauchemar du Cachemire !
En plus des hippocampes, j’y vois pour ma part l’archétype d’un célèbre textile. On peut se demander d’ailleurs comment les anciens ont découvert les motifs « Cachemire » qui ressemblent beaucoup aux fractales à ceci près qu’ils ont forcément été créés à la main, bien avant l’invention des ordinateurs…
Si en Europe le châle cachemire est un accessoire purement féminin, en Inde, son pays d’origine, il est réservé aux hommes, qui le portent en ceinture ou en turban. Tissé au Cachemire dès le 15ème siècle, à partir du duvet d’une chèvre vivant dans les hauteurs du Tibet, il est le plus souvent rectangulaire. Son décor est constitué d’un centre uni terminé au deux bouts par des bordures, ornées d’une palme appelée Boteh. L’origine de ce motif est obscure et les explications nombreuses. Certains y voient une larme de Bouddha, une pomme de pin, une goutte… Pour d’autres il serait une interprétation stylisée de l’œillet ou du moins aurait un lien avec le monde floral, puisqu’en Persan Boteh signifie bouquet de fleurs…
Quoiqu’il en soit les indiens avaient découvert il y a bien longtemps « la vallée des hippocampes »…
Ci dessous, un « cachemire » encore beaucoup plus « attaqué », réalisé sur Apophysis. Un genre d’hypersphère à quatre dimensions, façon « bouteille de Klein »…
Ils mangent tout se qu’il touve tout est bon ,ils ne risques pas de crever de faim quoi faire pour leurs fair comprendre
Quelle merveille… Merci !!!
Heureux que ces austères sujets vous plaise, Aurélia 😉
Austères, oui mais pas seulement…
J’ai la chance rare d’avoir eu d’excellents professeurs à l’Université qui enseignaient une chose fondamentale à leurs étudiants : il y a toujours plusieurs façons d’analyser, d’interpréter et d’apprécier une oeuvre, qu’elle soit littéraire, photographique… ou fractale !
Continuez à nous « fractaliser » Francis : vous faites cela divinement bien 😉