Suite à des questions récurrentes qui m’ont été posées ici et là, il me semble important de revenir sur la notion des dimensions de l’espace. C’est en effet un concept essentiel qu’on retrouve dans un grand nombre de domaines des sciences fondamentales et appliquées mais aussi dans notre vie courante. Vous allez voir, c’est tout à fois simple et vertigineux !

Que sont les dimensions ?

Les dimensions sont un moyen mathématique pour formaliser les caractéristiques d’un espace donné. Commençons donc par… Le commencement, avec un espace à une dimension. C’est un point ! Qui n’a ni longueur ni hauteur ni épaisseur. Une vue de l’esprit, une abstraction mathématique : si on cherche à se le représenter, pour simplement le « voir », on lui imagine des dimensions qu’il n’a pas ! Un point… C’est tout !

Nous sommes beaucoup mieux familiarisés avec l’espace à deux dimensions. Une longueur et une largeur. C’est la feuille de papier de l’architecte ou du dessinateur, la toile du peintre, l’écran de votre télévision, de l’ordinateur où vous lisez cet article, l’écran de la tablette ou du téléphone, une affiche, un livre, un magazine : tous les supports qui représentent l’information constituant notre monde.

Bien sûr, c’est une illusion. Très tôt les peintres, les photographes, ont inventé la perspective, le « bokeh » (le fameux « sfumato » de Leonard de Vinci), la profondeur de champ, de façon à reproduire au mieux sur un support en 2D notre monde en relief…

Vous êtes à plat ?

Et si nous vivions dans cet espace en deux dimensions ? Imaginez… Il faut se référer pour cela au roman de Edwin Abbot, « Flatland« , où l’auteur nous fait voyager (et réfléchir) dans un espace qui ne comporte que deux dimensions…

Si un objet de dimension supérieure (3D) venait à interagir avec le monde 2D, ses « habitants » n’en percevraient que la « tranche ». Une sphère n’aurait d’existence qu’avec son intersection avec le plan et apparaitrait comme un cercle. Un cylindre incliné donnerait un ovale et un cube, un parallélogramme…

Et si on ajoute le mouvement, une sphère, par exemple, qui tomberait sur ce monde (et le traverserait) apparaîtrait brusquement dans le plan (le seul monde appréhendable) comme un point devenant un cercle dont le diamètre augmenterait puis diminuerait jusqu’au point final avant de disparaitre à nouveau, ayant complètement traversé le plan. Oui, les habitants de Flatland percevraient une réalité assez éloignée de notre monde à trois dimensions. Une allégorie dont il faut se souvenir pour essayer de « percevoir » les dimensions supérieures.

Espace tridimensionnel ?

Car bien sûr, notre voyage ne s’arrête pas là. Nous voilà rendus dans « notre » monde à trois dimensions. Avec une longueur, une largeur mais aussi la troisième dimension : l’épaisseur ou hauteur à laquelle nous sommes habitués. Nous vivons et pensons dans un monde en trois dimensions, la fameuse « 3D ».

Le tesseract, « hypercube » à 4 dimensions se révèle à vos yeux ébahis.

Pas seulement trois d’ailleurs, si on y réfléchit un instant. Nous avons en effet oublié le temps qui nous est également familier même si c’est une illusion. Depuis Einstein on sait en effet que le temps est une des dimensions de « l’espace temps », à quatre dimensions donc. On peut se représenter cette diablerie en considérant une scène où quelqu’un court, avec la même scène  saisie quelques secondes plus tard. Des choses ont changé dans la « quatrième dimension temporelle » : le coureur n’est plus à la même place !

Voilà donc les quatre dimensions dont on peut avoir une représentation en ajoutant aux trois dimensions de l’espace cette dimension temporelle. On parle alors d’hypercubes, d’hypersphères, d’hyperespaces, d’hyperplan… Un « cube » en quatre dimensions devient un « Tesseract« . D’ailleurs, la projection du Tesseract en trois dimensions a donné aux architectes la grande arche de La Défense à Paris.

Vers l’infini et au delà

Bien sûr il n’y a aucune limite au nombre de dimensions d’un hyperspace dans le sens ou l’ensemble des nombres qui définit les dimensions est également infini. En effet, il est toujours possible d’ajouter « 1 » à un nombre, aussi gigantesque soit sa taille et ce jusqu’à… L’infini ! La tête vous tourne ? Normal. Asseyez-vous. Respirez.

On peut donc concevoir en pensée des espaces avec un nombre infini de dimensions. Oui, je sais, ça pique… D’ailleurs, sans vouloir vous casser le moral, la théorie des cordes nous explique que la « réalité » dans laquelle nous vivons serait constituée en fait de 21 dimensions ! Dont on n’est capable d’en percevoir que 3 ou 4…

La beauté (ou le cauchemar) des mathématiques réside justement dans le fait qu’on peut utiliser des règles simples (!) pour appliquer celles-ci dans des espaces comptant un nombre de dimensions gigantesques qu’on ne peut bien sûr pas visualiser. Les matheux ne s’en sont pas privés grâce aux différents algèbres, calcul vectoriel, matriciel et autres dialectes. Ainsi l’étude des espaces de Calabi Yau. Ou celle du groupe de Lie E8, espace à 248 dimensions, considéré comme l’objet le plus complexe des mathématiques. Ou enfin les travaux de John Conway, un mathématicien britannique qui s’est attaqué à définir les symétries d’un objet justement baptisé « le monstre ». Découvert dans les années 1970, il est le plus grand des 26 groupes simples sporadiques avec des caractéristiques qui donnent le vertige : 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 symétries, 194 classes de conjugaison et une représentation fidèle de dimension minimale 196 883 !

La classification des groupes simples finis, dont font partie ces groupes sporadiques, a été un travail colossal qui s’est étalé sur plusieurs décennies. La preuve complète de cette classification, qui affirme qu’il n’existe pas d’autres groupes simples finis que ceux déjà identifiés, représente environ 10 000 pages de démonstrations… Un petit verre d’eau ? Car ça, c’était avant ! 🙂

Dimensions fractionnaires

Stargate. Collection « Abysses » sur la boutique.

En effet, pour être complet il faut citer également les dimensions fractionnaires, qui sont caractéristiques de la géométrie fractale. De même que le « nombre » de nombres entiers (ensemble N) est infini, celui des nombres fractionnaires, décimaux ou non entiers (ensemble Q) est « encore plus » infini : rien qu’entre 1 et 1,00000000000000001 il existe une infinité de nombres fractionnaires. En fait, et cela dépasse le cadre de ce petit billet, l’un n’est pas plus grand que l’autre ce qui est totalement contre intuitif. Passons…

On connait ainsi une infinité de solides de dimensions 2,3 | 4,00003 | 1,95542, etc… Troublant pour nous autres habitués à un monde en trois dimensions. Les fractales sont ainsi toujours constituées d’entités avec des dimensions décimales (non entières). A ce propos, au cours de mes explorations picturales, il m’est arrivé de manipuler des solides fractals dans des espaces 4D (à quatre dimensions), les célèbres quaternions, mais aussi en 5D, en 6D. Après, c’est douloureux…

Retour vers le futur

Pour revenir aux dimensions entières, plus conformes à notre vision du monde et pour ceux que ça intéresse, le mathématicien fractaliste Jos Leys s’est fendu de neuf vidéos explicatives sur cette notion de dimensions. Voici le lien de la « playlist » :

« C’est notre projection ! »

Traité de perspective. Jean Letourneur – Eyrolles

Le seul espoir que nous avons pour visualiser ces solides poly-dimensionnels est d’en faire une projection vers une dimension inférieure. Par exemple… Très tôt, les artistes, les bâtisseurs ont eu besoin de représenter sur une feuille de papier ou une toile (en 2D) les trois dimensions de l’espace où nous vivons (en 3D) : ainsi est née la perspective et ses règles.

De même pour nos écrans de smartphones, tablettes et autres téléviseurs, ceux des salles de cinéma, nous sommes habitués à regarder sur un support en 2D la réalité en trois dimensions ; et même en quatre comme nous l’avons vu, si on considère les vidéos, animées dans le temps.

C’est à un même exercice de pensée qu’il faut se livrer pour tenter de visualiser un solide en quatre dimensions par exemple : en faire une projection dans notre espace 3D, lui même interprété et projeté sur un support 2D (cet écran) comme dans la représentation du Tesseract vu plus haut. Même chose pour les dimensions supérieures en 5D, 6D, 7D, millions de dimensions, même si cet exercice fait très vite mal à la tête !

Au fait : pourquoi cette fixation sur les grandes dimensions et la raison d’être de ce billet ? Comme vous le savez, je m’intéresse de près à l’intelligence artificielle et au « deep learning ». Or, pour que cela fonctionne, les informaticiens et mathématiciens chevelus ont du faire appel à des espaces comptant plusieurs milliers de dimensions ! Ou plutôt, les machines et les algorithmes eux-mêmes en ont eu besoin et les ont créés ! Mais çà, c’est une autre histoire. Bientôt. 😉

Vue d’artiste de « l’espace sémantique latent », la clé de l’apprentissage « deep learning » des intelligences artificielles…

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