Fractales apolloniennes… Nous avions déjà abordé (au Moyen Age) ce thème ardu des fractales apolloniennes dans une docte publication où je faisais assaut de culture. Vous savez, ce vieux truc des boomers d’avant Chat Gépété : La culture ; cet ensemble de connaissances variées qu’on acquiert pendant toute une vie et qui permet de comprendre un peu mieux le monde qui nous entoure, ou plutôt dont nous faisons partie… Bref, toujours au second degré, voilà que j’en remets une couche !
Bourrons les cercles !
Il s’agit toujours de « bourrer des cercles », le sport favori de nos classes dirigeantes, toujours prompts à élargir le cercle de leurs amis mais c’est surtout un problème métaphysique : y a-t-il un moyen d’échapper à l’infini quand on cherche à remplir des trous avec des ronds ? La réponse est non, bien sûr : il existe toujours un plus petit machin à bourrer dans un petit trou !
La fractale la plus connue et citée en exemple est constituée de trois cercles inclus. Mais, à y regarder de plus près, on constate qu’il existe en fait une infinité de fractales apolloniennes où il y a toujours de plus petits cercles à insérer dans les espaces libres, à l’infini. Voici qui rappelle aussi, au passage, la mousse de Poincaré qui n’est autre que la mousse de bière, ou des billes entassées dans un récipient ; ou des oranges dans un cageot, bref !…
Ainsi rien n’empêche de construire ces figures avec, inclues dans le premier cercle, 3 cercles tangents respectivement ; mais aussi quatre cercles, cinq, six, sept, huit et en fait « n » cercles, comme on le voit ci-dessous.
Plus généralement, rien que pour la 2D, en partant d’une famille de n cercles de même rayon tangents deux à deux, on obtient une famille de cercles d’Apollonius ayant une symétrie rotationnelle d’ordre n… Et ce, bien entendu jusqu’à l’infini. L’infini dans l’infini, concept de Georges Cantor qui nous a démontré qu’il existait « une infinité d’infinis » et des espaces « transfinis »…
Tout ceci a à voir avec les espaces hyperboliques, les projections de Moebius, la géometrie non euclidienne et autres joyeusetés. On se réfèrera à profit au livre mythique : Indra’s pearls, les visions de Felix Klein (avec, grande question : on prononce « clin », « clailleneu » ou « cline » ?…) 🙂
Avec Blender 3D
Toujours est-il que la tentation est forte (que dis-je : irrépressible) de modéliser le phénomène dans un logiciel 3D, j’ai nommé Blender, qui en est à la version 5.01. Juste pour dire… Ce que j’ai fait, aucune bête ne l’aurait fait ! Mais je n’aurais pas réussi sans l’aide déterminante des tutos SUR YouTube ET en anglais.
En particulier celui de Thijs , un matheux néerlandais féru de 3D qui reconnait (quand même) que ce qu’il a réussi là est dans doute le plus difficile qu’il ait jamais proposé sur son excellente chaîne YouTube MTR animation. Oui, plus difficile encore que les « attracteurs étranges« …
La tâche est en effet déprimante : Il est question de position des cercles, de tailles, de tangentes et de nombre complexes mais aussi de courbures et d’autres spécialités mathématiques qui vont bien au delà de mes connaissances, sans parler de la prétention de les insérer dans Blender sous forme d’un roboratif plat de spaghettis de « geometry nodes » comme vu si souvent ici. Voici donc les formules engagées dans l’exercice, dans leur merveilleuse clarté !
Tout l’enjeu consiste donc à transcrire toutes ces formules mathématiques en enchainements de nodes dans Blender comme on le voit ci-dessous. Je vous fait grâce des « sous-nodes », touffus à souhait, mais heureusement fournis par l’auteur dans un fichier exemple. Attention aux erreurs (Blender bogue encore pas mal sur ces subtilités – il faut quitter et réouvrir quand quelque-chose ne va pas, ce qui arrive tout le temps) et faire attention à la différence entre les majuscules et les minuscules quand on nomme un attribut. Eh oui, « k » n’est pas « K » et j’ai perdu un oeil à ce petit jeu…
Toujours est-il qu’après un nombre incalculable de nuits blanches et une thérapie cognitive et comportementale je suis parvenu à modéliser ces cercles maudits. Tellement fier que je n’ai pas résisté au plaisir de vous les étaler ici, même s’il sont pourris !
On peut en effet faire beaucoup mieux. Une fois que l’arborescence des nodes est établie, on peut jouer sur plusieurs paramètres pour obtenir des formes différents : c’est tout l’intérêt de la modélisation procédurale « non destructive ».
Il est ainsi possible de faire varier la taille des cercles inclus (en rouge dans mon arborescence) et le nombre de ces cercles, dans une certaine mesure. Pratiquement 1 ou 2 cercles primitifs. On est loin des 3, 4, ou « n » vus plus haut mais j’ai une vie, encore des illusions et je n’ai pas voulu prendre ce risque… 🙂
De même il est possible de faire apparaître tout ou partie des différentes itérations (l’autre node rouge – plus haut) ce qui permet d’obtenir pratiquement des bijoux et colliers de plus ou moins bon goût…
Dans le genre cristaux il est bien sûr possible d’insérer n’importe quelle figure et pourquoi pas un des solides d’Archimède vus précédemment ? Lé pas mignon mon Octahedron tronqué ? Pour faire un genre de pyrite à rayures. Et mon Rhombicosidodecahedron ? Histoire de singer des grenats ou de l’améthyste. Ce n’est pas la bonne cristallographie, je sais. Et en fait ce ne sont même pas des solides d’Archimède mais de Catalan ; ou plutôt de Johnson ! Ca suffit maintenant !
L’une des subtilités de l’affaire consiste à pouvoir texturer différemment les cercles inclus et les cercles qui les enserrent. Une histoire de « join geometry »…
Sur le même principe on peut aussi remplacer les figures de remplissages : il n’y a pas que les icosphères dans la vie mais aussi les cônes, les cylindres et même, 3D oblige, des théières ! Rappelons que la théière est un des objets de base inclus dans les logiciels 3D : ça ne sert à rien mais c’est comme çà…
Bien sûr, rien n’empêche d’ajouter à cette forme de base d’autres éléments 3D, texturés différemment, au gré de votre imagination.
Dans JWildfire
J’avais exploré précédemment dans JWildfire ce type de variations. sur la base des équations établies par Norberto Gavioli, un professeur italien, associé d’algèbre à l’Université de L’Aquila. C’est ainsi que j’avais obtenu ces mandalas cramoisis…
Dans Incendia
Nous avons déjà vu dans un billet précédent que le logiciel Incendia possède un plugin « Hyperbolic Tesselation » pour générer ce genre de fractales. Pas d’authentiques « badernes » mais, genre… Sur ce, bonnes tesselations et, ne vous perdez pas en route !
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