Les fractales en trois dimensions, ça va cinq minutes : en fait, c’est trop simple ! 🙂 Heureusement, il existe des fractales en 4D. Les quaternions… Que sont donc ces bêtes là ? En mathématiques, un quaternion est un type de nombre hypercomplexe. L’ensemble des quaternions constitue une extension de l’ensemble des nombres complexes, extension similaire à celle qui avait conduit de l’ensemble des nombres réels à celui des nombres complexes…

Rien compris ? Moi non plus ! Mais point n’est besoin d’en comprendre toutes les subtilités mathématiques pour générer des vortex comme ci dessus ou autres figures « touille mayonnaise » du plus bel effet.

Complexes complexes…

Les quaternions furent découverts par William Rowan Hamilton en 1843 à partir des travaux de Leonhard Euler et Carl Friedrich Gauss. Hamilton étudiait alors l’interprétation géométrique de l’arithmétique de nombres complexes dans le plan et cherchait à obtenir des résultats analogues dans l’espace à trois dimensions.

Après des années de recherches sur la construction d’une algèbre avec des « triplets » de trois nombres réels, il butait sur la multiplication, et en particulier la conservation des normes. En pure perte : Georg Ferdinand Frobenius a démontré en 1877 qu’une telle multiplication de triplets était impossible à définir…

Hamilton eut alors l’idée d’utiliser des « quadruplets » en faisant intervenir une dimension supplémentaire. En promenade à Dublin avec son épouse, le long du canal royal, il eu soudain cette illumination :

i² = j² = k² = ijk = –1.

 

Bon sang ! Mais c’est… bien sûr ! Enfiévré, et de peur que la solution ne lui échappe, il grava alors aussitôt avec un couteau ces équations sur une des pierres du pont de Brougham (maintenant appelé Broom Bridge). Cette inscription, effacée par le temps, a aujourd’hui été remplacée par une plaque à sa mémoire :
« Ici, le 16 octobre 1843, alors qu’il se promenait, Sir William Rowan Hamilton découvrit dans un éclair de génie la formule fondamentale sur la multiplication des quaternions i² = j² = k² = ijk = -1 et la grava sur une pierre du pont. »

Mais revenons à nos fractales. Qu’ont-ils de si étonnants ces mous quaternions à la sauce Julia ? Il faut bien comprendre qu’il s’agit de solides à 4 dimensions spatiales qu’on ne peut visualiser qu’en opérant leur projection dans un espace à trois dimensions. Dès 1982 Alan Norton publiait un article montrant comment visualiser un Quaternion Julia comme une « tranche 3D » d’un espace 4D. L’approche la plus commune consiste à faire une coupe 3D en réglant l’une des quatre dimensions sur une valeur fixe.

Les fractales Quaternion Julia sont obtenues sur le même principe que les fractales Julia classiques à ceci près qu’elles utilisent 4 nombres complexes dimensionnels au lieu de deux… Ce sont des « coques » dont l’apparence varie sans cesse selon la rotation, révélant, en 3D, leur structure interne. Un voyage dans la quatrième dimension…

Des fractales à pâte molle

Aligot, éclaboussures, sac de linge sale, mélasse, toupies en folie, strings tire bouchonnés, chewing-gum prémâchés, tourbillons de mixer à soupe : on voit ce qu’on veut dans ces solides étranges avec des intérêts esthétiques divers, selon les gouts. Mais ce qui est fascinant c’est de procéder à leur rotation dans l’espace à quatre dimensions : en tant que projection 3D d’un solide 4D ils révèlent à la moindre sollicitation leurs « profils » cachés dans une quatrième dimension. Troublant et migrainogène…

Il existe de nombreux moyens de générer ces étranges solides. Avec Mandelbulb 3D, comme ci dessus ou encore Incendia, ci dessous.

Et voici sur Ultrafractal, sur la base d’un ensemble de Mandelbrot en révolution (comparer avec sa représentation en 2D de l’arrière plan…), toute une ménagerie de quaterniophiles dérivés…

 

Voilà qui vous rappelle les formules fractales 4D de Mandelbulb3D ? C’est normal, ce sont les mêmes…

On peut aussi utiliser Fragmentarium et divers filtres Photoshop comme PixelBender ou KPTFrax4D… Et même une appli pour iOS assez bluffante : Quaternion Julia Raytracer HD Lite fonctionnant très bien sur iPad et sur iPhone. On peut générer toutes sortes de quaternions « au pif », coloriser, zoomer, faire tourner « au doigt », avec en plus l’illumination globale sur la base de photos prises avec… votre iPhone ! De quoi « épater vos amis ». Si… 😉

En rondelles !

Dans le domaine ds fractales en volume il est toujours intéressant de s’intéresser aux coupes selon un axe horizontal ou vertical. Ainsi, quand on coupe en rondelles certains quaternions, on retrouve les formes de Julia remarquables déjà évoquées sur ce blog :

Lapin de Douady…

Dragon de San Marco…

Dentrites…

Vallée des hippocampes…

Animez les tous !

Bien, entendu le mystère des quaternions se révèle particulièrement bien avec l’animation qui simule la quatrième dimension spatiale à l’aide d’une dimension temporelle. Voici le résultat généré avec Fragmentarium…

 Ou encore avec Pixel Bender pour After Effects…

Du sexe des fractales…

Et pour finir voici un pseudo quaternion, modélisé dans un logiciel de 3D à partir d’une sphère de jade. Quelques dévissages plus tard, j’ai obtenu, à ma grande confusion, cette… figure. Je ne sais pas si les quaternions ont un sexe mais celui-ci, assurément, n’est pas une femelle !