Au cours de mon dernier voyage à Oman, rendu réceptif par de sérieuses insomnies, ponctuées d’appels à la prière des muezzins limitrophes, je trompais la nuit à la lecture d’un polar acheté à l’aéroport : Le Palimpseste d’Archimède, d’Eliette Abecassis.

Un genre de Da Vinci Code qui a le mérite de traiter par la bande du nombre Pi et de faire passer le temps, en l’occurrence infini.

L’occasion de révasser, à l’infini justement, au travers de ce nombre, populaire s’il en est. L’un des plus important de l’arithmétique qu’on retrouve partout, dans diverses bases et dimensions numériques.

Mais peut-on calculer sa valeur exacte ? Eh bien non ! Pi est un nombre irrationnel, ce qui veut dire que sa représentation décimale est à la fois infinie et non-répétitive. On ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers et on a découvert à ce jour aucune périodicité dans cette suite infinie de décimales. En outre, Pi est aussi un nombre transcendant, ce qui signifie « qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont Pi soit une racine ».

Calculer Pi

Et donc, les mathématiciens et informaticiens du monde entier s’emploient toujours à calculer les décimales de Pi. En 1949, à l’aide du premier ordinateur, l’ENIAC, John Von Neumann obtenait 2037 décimales, après un calcul de 70 heures…

Grâce à d’innombrables algorithmes, on est aujourd’hui capables de calculer des décimales « lointaines » sans être obligés de calculer les précédentes, ce qui mettait les ordinateurs les plus puissants à genoux. Le record à ce jour (2013)  est détenu par deux jeunes amateurs, Shigeru Kondo & Alexander J. Yee qui, sur une machine « personnelle », ont calculé et vérifié 12 100 milliards (1,21 x 10¹³) décimales de Pi !

Par contre, selon certains chercheurs, Pi ne pourra jamais être connu avec plus de 10⁷⁷ décimales, le maximum calculable et mémorisable sur des supports physiques. En effet, ces calculs nécessitent de la puissance et de la mémoire. Chacune n’étant pas infinie, il existe donc une limite matérielle évidente à ce calcul. Notons par exemple que le nombre total d’atomes dans l’Univers est estimé lui à 10⁸⁰…

Mesurons bien le vertige que procure ce nombre, si simple en apparence : le quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre ! Apte à générer une suite infinie de chiffres… Parmi lesquels il est possible de retrouver, infini oblige, n’importe quelle combinaison de chiffres, si grande et complexe soit-elle… Autrement dit, tout est dans Pi ! Vous aussi…

Formules magiques

Pi est infini mais il existe plusieurs formules mathématiques « exactes » qui permettent de le calculer. L’une d’entre elles, particulièrement exotique, est l’œuvre de Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920), un autodidacte indien qui passa les 25 premières années de sa vie à reconstruire les mathématiques à partir d’un unique ouvrage de 6165 théorèmes sans démonstration (“Synopsis of elementary results in pure and applied mathematics” de G.S.Carr) !

L’homme n’a pas spécialement l’air d’un abruti et nous parlions déjà de son incroyable talent dans l’article sur la fonction Zeta…

Doté d’une intuition mathématique exceptionnelle, il  progressa plus que quiconque dans la théorie des nombres et des équations modulaires et découvrit des centaines de formules « venues d’ailleurs » comme celle-ci publiée en 1914, qui est, vous en conviendrez, particulièrement lumineuse :

Pour ceux que cela intéresse, on retrouvera la fabuleuse histoire du nombre Pi, sur l’excellent site de Boris Gourevitch www.pi314.net. Et, pour les amateurs de mémorisation, voici les 1000 premières décimales… Vous avez  dix minutes ! 😉

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717  7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066   1300192787   6611195909  2164201989…

Le record actuel est détenu par Lu Chao, un jeune diplômé chinois. Il lui aura fallu 24 heures et 4 minutes pour réciter les 67 890 premières décimales de Pi, sans erreurs…

Le pi vert

Complètement halluciné par le manque de sommeil, m’est alors venue une idée de génie : s’il est impossible à ce jour de découvrir une suite logique dans ces décimales à rallonge, il suffit peut-être d’assigner une couleur à chaque chiffre et le visage de Dieu apparaîtra à l’écran ? Ou tout autre graphisme. Quelque-chose, quoi ! Las…

D’abord, je n’étais pas le premier à y avoir pensé, comme on peut le voir sur ce site. Ensuite, comme vous pouvez le constater, on n’obtient qu’une bouillie de pixels. Verte. Plus petit commun multiple de ces couleurs vomitatoires… Mais, c’est tout de même rassurant d’apprendre que ma date de naissance se trouve à la 2960ème position.

D’autres ont cherché, à l’aide de logiciels de visualisation de données et d’opérations statistiques complexes, à représenter graphiquement la variabilité des décimales de Pi, et tant qu’on y était, de Phi (le nombre d’or) et e (constante de Néper), autres nombres remarquables…

Les images, en forme de mandalas, ne sont pas sans rappeler mes chères fractales, ce qui réorientait ma quête graphique dans d’autres directions…

Pi fractal ou fractales de Pi ?

Je savais qu’on retrouve le nombre Pi dans l’ensemble de Mandelbrot… Certains se sont même attaqués à définir la dimension fractionnaire (et donc fractale) de Pi, qui serait proche de 1,5…

Mais pourquoi ne pas prendre le problème à l’envers et utiliser le résultat que la nature nous donne, à savoir la dimension de Pi (3,14… etc), soit entre 3 et 4 dimensions, et de regarder à quel type de fractale cette dimension correspondrait ?

Mais tout d’abord, comment intervient Pi dans les diverses dimensions ? En deux dimensions, c’est simple, c’est un cercle dont on connait parfaitement la formule de calcul de la surface, qui est égale à Pi x R². En trois dimensions, on a affaire à une sphère dont le volume est égal à 4/3 x Pi x R³.

En 4 dimensions et au delà, cela se complique un peu et il faut faire appel au concept d’hypersphères à n dimensions (exemple d’hypersphère de dimension 4, à droite…).

Mais, dans le calcul des « volumes » de ces solides, Pi intervient toujours. Il est curieux de noter, d’ailleurs, que ce « volume » augmente jusqu’à la dimension 5 pour décroître ensuite, ce qui est naturellement contre intuitif.

Mais les mathématiques multidimensionnelles et la topologie ne sont pas avares de tels paradoxes, sans parler des fractales…

A propos des fractales, il est intéressant de noter que le broccoli (légume fractal par excellence) présente une surface d’une dimension de 2,66, tandis que les surfaces du cerveau et des poumons humains sont respectivement de 2,79 et 2,97…  On s’approche de Pi… Par ailleurs, on suspecte la surface de la Mandelbulb d’avoir une dimension fractale proche de 3. Pour aller au delà, faudrait-il combiner avec elle un quaternion, de dimension 4 ? Spéculations…

Pour ceux que le sujet intéresse voici une conversation entre mathématiciens et programmeurs à propos de la dimension de Hausdorff de la Mandelbulb. Ce qui n’est pas simple…

Pour l’instant, mes recherches graphiques n’ont rien donné de bien folichon. Si ce n’est ce demi hybride Mandelbub/Quaternion « Mars 3.14 » où j’oscille au bord du vide…

Ou encore, ce casque de scaphandrier du futur…

Pi y est-il caché ? Je n’en doute pas. Et Pi, c’est tout ! 😉

Et, actu oblige, un nouveau lien sur le prochain « Pi Day« …