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Loxodromes et projections

urbi-et-orbit

Le loxodrome… Qu’est-ce encore que cette bête là ? Il s’agit d’une courbe spiralée à partir de laquelle on peut construire un solide symétrique, empreint d’une étrange beauté et qui n’est pas sans rappeler la trajectoire d’avions ou de bateaux à la surface de la Terre. et pour cause…

La surface de notre globe terrestre est en effet interprétée mathématiquement comme une sphère de Riemann, du nom du génial Bernhard Riemann, découvreur également de la fonction Zeta dont je vous ai déjà parlé. Cette sphère est une projection de la sphère euclidienne mais sur le plan complexe. Les loxodromes peuvent être alors compris comme une certaine classe de transformations de Möbius. Largués ? Je vous rassure, çà va être pire ! Pour mieux comprendre, il faut d’abord se familiariser avec ces transformations de Möbius, joli fleuron de la topologie, dont on trouve une lumineuse explication ci dessous…

 En ce qui me concerne, je me suis d’abord intéressé à ces courbes en décortiquant jusqu’à l’hypnose les dessins de M.C. Escher, Maurits Cornelis Escher (1898-1972), ce graphiste génial et fou de symétrie ayant collaboré avec de nombreux mathématiciens et qui a produit plus de 2000 dessins de « figures impossibles ».

Il a utilisé ces concepts topologiques pour créer ses fameuses spirales sphériques…

Le plus court chemin d’un point à un autre n’est pas la droite !

Car ce sont les navigateurs qui connaissent le mieux cette histoire de loxodromes… Une loxodromie (aucun rapport avec un éventuel empapaoutage de mouches) est une courbe qui coupe les méridiens d’une sphère sous un angle constant.

Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite mais qui n’indique pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un grand cercle de la sphère.

Ci contre, la loxodromie (en jaune) et l’orthodromie (en rouge) entre Paris et New-York. La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, qui le premier l’a distinguée d’un cercle.

En maths, c’est un des premiers cas d’«intégration difficile» connu. Le problème posé est celui de la détermination de la route et de la distance loxodromique entre deux points. Il s’agit donc du problème inverse de la navigation à l’estime. On en trouvera la démonstration mathématique ici. Et pour mieux visualiser, voici trois vues d’un loxodrome pôle à pôle.

Loxodrome-2

E pericoloso sporgersi

triloxodromeMais là où les choses deviennent intéressantes c’est quand on effectue la projection du loxodrome sur un plan, ce qu’on appelle une projection stéréographique. Afin d’éviter tout transport de matières lourdes et dangereuses, j’ai modélisé tout cela, utilisant les ombres pour visualiser la projection. D’abord, créer un loxodrome « en dur » avec un logiciel 3D. Pour ceux que ça intéresse, il s’agit de créer une spline ayant pour coordonnées :

X = 200 * cos(t) * cos(atan(0.15 * t))
Y = – 200 * sin(atan(0.15 * t))
Z = 200 * sin(t) * cos(atan(0.15 * t))

On obtient ainsi une courbe loxodromique. Pour lui donner du volume, créons une extrusion Nurbs avec une autre spline (cercle ou rectangle) : voilà notre objet. Posons le sur une surface plane et réfléchissante. Ajoutons une lumière à l’intérieur du loxodrome, générant des ombres dures et observons…

L’ombre projetée sur le plan à la forme familière d’une double spirale inversée de Möbius qu’on retrouve dans la forme de certaines galaxies, des coquillages… N’est ce pas merveilleux ? 🙂

loxotron

Vous trouverez plus d’explications « rigoureuses » sur la sphère de Riemann ici…

Des loxodromes partout !

Toujours est-il que depuis que je me suis intéressé au problème,  je me suis mis à voir des loxodromes partout, et jusque sur cette poignée de porte en fer forgé, dans une rue de Marseille !

Les loxodromes en « vraie 3D » sont encore rares sur l’Internet. Mais, dans sa grande bonté, le programmeur Ramiro Perez a pourvu son logiciel Indendia de deux formules de loxodromes. Voici le premier…

loxometal

Je ne sais pas ce qu’il en est pour vous mais moi, ces loxodromes métalliques me donnent envie de les « dévisser » et de m’envoler avec … On décolle ?

loxodrome2

A moins que vous ne préfériez une plongée dans un puits sans fond ? Les bulles sont, une fois encore, organisées le long de loxodromes. Mais j’ai un peu triché en ajoutant une éponge de Menger. Histoire de générer un volume de bulles nul mais une surface infinie. J’aime bien avoir mes aises…

the-shaft

Et pour finir ce voyage au pays des spirales sphériques, voici un « pseudo loxodrome », généré avec Apophysis… Plugin Curl, quand tu nous tiens…

loxodrome-apophysis

Prenez bien vos Alka Seltzer et rendez-vous bientôt, pour de nouvelles projections stéréographiques…

spiralia

triloxodrome

Publié le Fév 24, 2013

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