J’avoue n’avoir pas totalement saisi la différence entre les fractales apolloniennes dont nous nous entretenions précédemment sur ce blog et les fractales kleiniennes, sans parler des quasi fushiennes… Si ce n’est que les kleiniennes sont indubitablement en 3D et même au delà (nous reviendrons sur cette notion de dimensions…)

Le groupe de Klein

Félix Klein est un mathématicien prussien (l’un des plus grands de son temps) mort en 1925 à Göttingen. Il est connu pour ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne, et en analyse. Il a aussi énoncé le très influent programme d’Erlangen, qui ramène l’étude des différentes géométries à celle de leurs groupes de symétrie respectifs.

Il est aussi l’inventeur, en 1882, de la troublante « bouteille de Klein » : une surface pour laquelle il n’est pas possible de définir un « intérieur » et un «extérieur ».

 

 

Une bouteille très apparentée aux rubans de Möbius et aux projections du même nom. Ce qui, ne me demandez pas comment, aboutit aux fractales.

Toujours est-il que les programmeurs ont inséré ses équations dans les différents logiciels, suivant les recommandations d’un livre qui revient souvent quand on aborde le sujet : Indra’s pearls. Vous trouverez le premier chapitre ici.

On doit la formule fractale initiale au mathématicien Jos Leys, bien connu des fractalistes et dont  le site web « old fashion » vaut (pour le moins) le détour…

Un ancien rêve bouddhiste

« Dans le ciel du grand dieu, Indra est constitué d’un filet vaste et miroitant, plus fin qu’une toile d’araignée, s’étendant jusqu’aux confins de l’espace.

Enfilée à chaque intersection de ses fils diaphanes se trouve une perle réfléchissante. Puisque le filet est infini, les perles sont infinies.

Dans la surface scintillante de chaque perle sont réfléchies toutes les autres perles, même celles dans les coins les plus reculés du ciel.

Dans chaque reflet, se reflètent encore toutes les infinies autres perles, de sorte que par ce processus, les réflexions de réflexions continuent sans fin »…

Que dire de plus ? C’est exactement çà…

 

Dans Mandelbulb 3D

C’est l’une des rares formules « autosuffisante » de ce logiciel, c’est à dire qu’elle n’a pas besoin d’être combinée avec d’autres pour obtenir des résultats intéressants. Tout se joue dans la finesse des réglages et de leurs interactions. Fractales, forcément. Vous pouvez vous aider de la merveilleuse clarté de la description de la formule (ci-contre).

Toujours est-il qu’après force tâtonnements, j’en tire les expériences suivantes :

Régler les itération Max sur 1, en phase de recherche, augmente drastiquement le temps de rendu !

Régler « Options » sur 4 pour obtenir un « objet unique » et non pas un « paysage symétrique infini » avec l’option par défaut = 0. C’est la même chose d’un point de vue mathématique mais d’un point de vue visuel, comment dire, il est plus facile de se repérer avec un objet unique. C’est vous qui voyez ! Notons qu’il existe… 256 options différentes ! Essayez-les toutes ? 🙂

La nature des textures appliquées détermine grandement l’effet obtenu : les sphères de grande taille respectant la texture et celle-ci devenant de plus en plus petite avec le nombre d’itérations aboutit à une couleur moyenne « fondue » qui donne cet effet de résille, de toile d’araignée après la pluie…

De quoi explorer l’infini et produire un art tentaculaire…

Changement de texture et de quelques variables : en voici une version « galactique / boule de cristal », de quoi rêver aux univers parallèles…

Ou en version matelotage, « noeud de touline » (bien serrer la corde…) 🙂

Et pour finir, ce « demi paysage » (coupe en « Z ») où l’on voit bien les transformations de Möbius, sous-jacentes à ce type de fractales…

Dans JWildfire

Le sorcier Andreas Maschke a bien entendu implémenté la formule dès les premières versions de JWildfire. Pour l’utiliser, il faut l’appliquer sur une première variation, le plus souvent « Blur »…

Dans Incendia

La formule est également présente dans Incendia (ci-dessous) et aussi dans Ultrafractal dont on trouvera une série de rendus sur le site de Jos Leys, déjà cité.

Mes différentes recherches sur ces fractales de Klein aboutiront (très bon, la soupe aboutiron !) à la création de plusieurs instagrammeries et tableaux dont : Hen (L’oeuf ou la poule ? Pourquoi tant de hens ?). Disponible sur demande (actuellement pas édité dans la boutique).

Ou encore, Octopussy, une fractale librement inspirée de la pieuvre à ocelles bleues, une espèce venimeuse et potentiellement mortelle…

 

 

 

 

 

Une formule qui donnera lieu également à la conception du tableau Drakkar dont vous trouverez sur ce blog l’intégralité du making of… Nan, nan, gratos ; merki. C’est moi…