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Les fractales apolloniennes

Au 3ème siècle avant J.C, un grec du nom d’Apollonius de Perge entreprit « le bourrage des cercles »…

Rien de cochon là dedans : ce disciple d’Archimède qui donna à l’ellipse, à la parabole et à l’hyperbole les noms que nous leur connaissons aujourd’hui était en quête d’une solution à la question qui, à l’époque, empêchait les géomètres de dormir, à savoir si l’aire de l’objet (évidé par des cercles suivant le principe ci-contre) devenait finalement nulle.

Bourrons les cercles !

Apollonius_de-PergaCe brave Apollonius eu l’idée de faire entrer trois cercles dans un quatrième. Puis, comme il restait de la place, de la combler avec d’autres cercles tangents, et ainsi de suite, de façon à essayer de remplir le cercle « contenant », ce qui est impossible. Il a ainsi touché l’infini. L’ensemble lacunaire résultant a en effet une superficie nulle après une infinité d’itérations…

Ce faisant, il découvrit le premier objet fractal de l’histoire humaine dont on ait trace : la « baderne d’Apollonius ».

En mathématiques, les cercles d’Apollonius forment une figure de géométrie fractale engendrée à partir de trois cercles, deux d’entre eux étant tangents à un troisième. Ces cercles d’Apollonius possède une dimension de Hausdorff égale à 1,3057.

L’extension des cercles d’Apollonius aux trois dimensions aboutit aux « sphères d’Apollonius ». Leurs dimensions fractales est estimée à 2,47… C’est à dire, plus tout à fait un plan mais pas encore un volume. De fait, ces sphères sont pleines de trous, comme on le voit sur ces modèles générés (dans la douleur) avec Apophysis

apolonian-species

Liens avec la géométrie hyperbolique

A ce moment de notre exposé, je ne résiste pas au plaisir de reproduire la lumineuse explication qu’on trouve sur Wikipedia, censée expliquer le lien subtil entre les fractales apolloniennes et la géométrie hyperbolique :

Les trois cercles générateurs, et par conséquent la construction entière, sont déterminés par la localisation des trois points où ils sont tangents les uns les autres. Puisqu’il existe une transformation de Möbius qui applique trois points donnés quelconques dans le plan à trois autres points quelconques, et puisque les transformations de Möbius respectent les cercles, alors il existe une transformation de Möbius qui applique deux constructions de cercles d’Appolonius quelconques à une troisième.

Les transformations de Möbius sont aussi des isométries du plan hyperbolique, donc dans la géométrie hyperbolique, toutes les constructions de cercles d’Apollonius sont congrues.

klenian-dropDans un sens, il existe par conséquent seulement une construction de cercles d’Apollonius, qui peut être pensée comme un pavage de plan hyperbolique par des cercles et des triangles hyperboliques. La construction de cercles d’Apollonius est l’ensemble limite d’un groupe de transformations de Möbius connu comme un groupe de Klein.

C’est donc parfaitement clair ! :-).

Tout cela pour dire que la « baderne d’Apollonius » a quelque chose à voir avec les disques et la mousse de Poincaré et les fractales kleniennes qu’on retrouve un peu partout quand on explore le monde des fractales, et dont nous reparlerons…

Apollon, mon bel Apollon…

Et pour finir, voilà ci-dessous, quelques variations « exotiques » de fractales apolloniennes réalisées avec Incendia et, (plus dur), avec Apophysis

apolonian-net

apollonian-disk

apollonian-loxodrome

apollonian-pearls

apollonian-bowl

apollonian-ring

apollonian-planet

Publié le Mar 26, 2013

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