J’étudie en ce moment la théorie des fractales à l’aide d’excellents bouquins de vulgarisation. Processus normal où, après avoir bien trituré les réglages de différents logiciels et obtenu (parfois) de beaux dessins, on a envie de savoir ce qui se cache dans le moteur…

Signalons d’ailleurs en ce moment la rediffusion par Arte de l’excellent documentaire « à la recherche de la dimension cachée » qui est une bonne introduction au sujet. Vous trouverez les films en ligne dans ce billet.

La théorie du Chaos…

C’est à la fois simple et très compliqué. Commençons par le principe de base, découvert par le mathématicien français Gaston Julia et, indépendamment, par Pierre Fatou : celui des itérations.

En mathématiques, une itération (du verbe latin iterare qui signifie « cheminer » ou de iter, « le chemin ») désigne l’action de répéter un processus. Le calcul itératif, permet l’application à des équations récursives, ce qui est employé systématiquement aujourd’hui en algorithmique.

Julia, le premier, a eu l’idée de voir ce qui se passait quand on réinjectait le résultat d’une équation donnée dans l’équation elle même, et ainsi de suite. Il a obtenu ainsi une série de points (coordonnées) qui, reportée sur un graphe, dessinait de singulières figures. Mais, à la main, les calculs nécessaires étaient un cauchemar….

D’ailleurs, ces figures étranges étaient dédaignées par les mathématiciens de l’époque car elles ne faisaient pas partie de la théorie. C’étaient des « singularités » : circulez, il n’y a rien à voir ! Il faudra attendre l’avènement de l’ordinateur pour qu’on réalise la complexité incroyable de ces équations si simples…

En maths, c’est à dire de manière totalement incompréhensible, cela se formalise ainsi : Les ensembles de Julia sont les ensembles des points du plan complexe. Étant donnés deux nombres complexes, c et z₀, définissons la suite (z_n) par la relation récurrente :

z_n+1 = z_n² + c

C’est pourtant clair !

Toujours est-il qu’il existe un ensemble différent pour chaque valeur de C et donc une infinité d’ensembles de Julia. Ils sont essentiellement caractérisés par le fait qu’une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite, ce qui sera connu plus tard comme « l’effet papillon » découvert par le météorologiste Lorentz.

Donc, en prenant z₀ = 0 et en faisant varier la valeur de C (partie réelle et imaginaire), on obtient des formes différentes. Ainsi, un processus très simple peu donner lieu, après un grand nombre d’itérations, à une forme très complexe ressemblant souvent à des espèces rencontrées dans la nature.

Par exemple, ces danseuses espagnoles vues par dessous (ça marche aussi avec les nudibranches et les planaires) ont été obtenues très facilement avec le logiciel Apophysis. Pour les puristes : un triangle Blur/Gaussian Blur et un second « Julia ». En bougeant la position des triangles (et donc la valeur de C) on obtient une infinité d’ensembles de Julia et donc toute une ménagerie gluante…

Quant à Benoît Mandelbrot, le « Père » des fractales, et pour simplifier à l’extrême, il a eu l’idée de réunir tous les ensembles de Julia possibles dans un « super ensemble », obtenant la désormais célèbre figure en « paire de fesses » qui s’autoréplique à l’infini…

Itérons !

Pour bien comprendre le processus et surtout les effets de l’itération, je suis parti d’un simple octaèdre régulier et d’un cube évidé pour n’en utiliser que les arêtes. On ne peut pas faire plus euclidien, plus cartésien… Que dis-je, voilà du solide ! Du platonicien !

Et pourtant, en les combinant ensemble dans le logiciel Incendia, on obtient déjà un solide des plus curieux mais qui reste « platonicien », artificiel…

Mais, en augmentant le nombre d’itérations (ici 20), nous voilà sous l’eau, devant une de ces algues rouges qui dansent au gré des courants… La nature ne fait pas autre chose qui répète à l’infini des formules très simples aboutissant aux formes que nous connaissons grâce au filtre de la sélection naturelle : seules survivent et donc donnent une descendance les espèces les plus adaptées à un environnement donné…

Bonne semaine et n’oubliez pas de prendre vos cachets !

…

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