Fractales : l’arbre de Pythagore

Que voilà une parfaite métaphore visuelle de l’arbre (infini) de la connaissance… Un simple cube donnant naissance à deux autres avec une rotation symétrique de 45° et ce, à l’infini. C’est donc une fractale. Les matheux auront reconnu tout de suite la formule d’une courbe de Levy, dont l’arbre de Pythagore est un cas particulier.

Celui ci fut inventé par le mathématicien hollandais Albert E. Bosman en 1942 et ne doit rien à Pythagore. Il a été nommé ainsi en hommage, parce que 3 carrés contigus déterminent un triangle isocèle, bien connu des potaches… Autre particularité de cette figure : si l’on considère que le plus gros des carrés a une taille de L x L alors, l’arbre entier tient dans un rectangle de 6L x 4L. On est bien avancés…

Plus intéressante est l’utilisation en électronique de cette figure. Dans leur course sans fin à la miniaturisation, en particulier dans le domaine de la téléphonie mobile, les ingénieurs se sont aperçus que l’arbre de Pythagore permettait de fabriquer des antennes minuscules sans perdre en qualité de réception tout en autorisant une large bande de fréquences.

C’est ainsi que nous trimballons tous un arbre dans notre téléphone.

Ou un triangle de Sierpinsky, ou encore une éponge de Menger, qui sont de la même nature fractale…

Les arbres d’Apophysis

Pour construire un arbre de Pythagore dans Apophysis, c’est très facile : une variation de base (square ou autre) et deux autres inversées, en « linear » réglés sur 0,7071. Voici une copie d’écran qui indique la position des triangles…

Bien sûr, rien n’empêche de modifier la forme de base, de passer d’un carré à une sphère, ou de pratiquer une rotation des triangles, ce qui aboutit à des arbres plus rares…

Autres logiciels

Avec l’excellent Structure Synth dont nous parlions sur ce blog, il est également possible de planter des arbres. Signalons d’ailleurs l’existence d’un groupe Facebook animé par Marc Vanlindt à qui l’on doit le script ci dessous…