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La surface de Dini en fractales

Dini3D

Ulisse_DiniEn dehors des fractales, vous savez que j’aime aussi la topologie, cette science des surfaces à deux, trois, quatre dimensions et plus. L’une de ces surfaces singulières a été découverte en 1865 par Ulisse Dini, un mathématicien italien né à Pise un 14 novembre 1845.

Cette forme étrange, qui n’est pas sans rappeler la Padina Pavonica, et qu’on appelle aussi hélicoïde pseudosphérique, a la particularité d’être le seul hélicoïde dont les lignes de courbures sont les méridiennes.

La surface de Dini présente une courbure négative constante et s’obtient en « vissant » une pseudosphère (engendrée elle, par la rotation d’une tractrice autour de son asymptote). Ou, comme je le lisais sur Wikipédia :
« C’est la surface engendrée par le vissage d’une tractrice le long de son asymptote, autrement dit, l’hélicoïde de génératrice, une tractrice et d’axe, l’asymptote de cette tractrice ». Ce qui est en effet beaucoup plus clair…

Toujours est-il que ce petit tortillon infini, cette trompette débouchée, ce trou noir à plusieurs entrées m’enchante et est graphiquement très élégant.

Il n’en fallait pas plus pour que je tente de modéliser cette bête, dans un logiciel 3D, pour la déformer à loisir. Avec quelques outils de clonage, j’ai obtenu facilement la floraison de Dini’s ci-dessus. Ce ne sont pas encore des fractales mais j’y viens.

Mandelbulb3D

Car bien entendu les logiciels de génération de fractales possèdent cette surface dans leurs paramètres. Dans Mandelbulb3D, elle se trouve dans les plugins dIFS (diniIFS). C’est comme cela que j’ai obtenu la surface « seule » en jouant sur le réglage « Apply scale+add » (passer de 1 à 0). Avec un gradient simple et une belle réflexion pour l’un, un motif Truchet, réflexion et transparence pour l’autre, réalisée en vraie fausse écaille de tortue. Notez que je n’ai rien contre les tortues

dinistruchet3

Mais il ne fallait pas s’arrêter en si bon chemin. En effet, quand on travaille un peu avec les fractales dIFS, il est possible d’appliquer d’autres variations sur la surface de Dini qui se comporte alors comme une « primitive », répliquée cette fois de manière fractale.

Période de fêtes oblige, j’ai sorti les moules à chocolat ! En m’attachant à un travail sur les textures et les reflets. Bonne dégustation ! Existe pour l’instant en blanc et au lait. 🙂

diniapollo

Incendia

De son côté, Incendia (qui vient d’ailleurs de passer à la version EX6 release 4) propose aussi depuis longtemps une surface de Dini, à triturer à loisir. Voici un palais, typique de la fonction « Julia » construit entièrement avec des surfaces de Dini…

Incendia

Ou encore, cette sculpture de corail rouge, particulièrement chantournée… C’est fou ce qu’on peut faire avec quelques algorithmes ! 🙂

corail

JWildfire

Dans JWildfire il existe aussi un plugin « Dini », qui peut être utilisé seul ou en combinaison avec d’autres variations. Cette vison diaphane « en transparence » rappelle un peu les turbulences dans l’eau, que j’avais obtenues par d’autres moyens…

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jwildfire

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Il faut dans un premier temps charger le plugin seul et rien n’apparait ! C’est merveilleux ! Mais, la forme tire-bouchonnée se révèle quand on augmente considérablement la taille du triangle…

Bien sûr, avec une seule variation, impossible d’obtenir un gradient de couleurs : la surface sera monochromatique.
En superposant une deuxième variation (à condition qu’elle soit « 3D ») on obtient une déclinaison de la surface, encore une fois de manière fractale (ici un simple « linear 3D »).

Enfin, en rajoutant quelques pincées de ci et de çà, je suis finalement parvenu à replier la surface sur elle même pour aboutir à ce portulan particulièrement complexe. 🙂

dini-jwildfire

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 Joyeuses fêtes et prenez bien vos cachets !

Publié le Déc 24, 2015

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