C’est la vague déferlante dans le monde des fractales… Daniel White, amateur de belles images et sans doute expert en maths, explique sur son site Skytopia comment il a créé la première représentation d’un ensemble de Mandelbrot en 3D, qu’il a appelé Mandelbulb. Bien sûr il existe d’autres générateurs de fractales qui donnent l’illusion de la 3D comme Apophysis 3D Hack ou Xenodream sur lesquels nous reviendront. Mais c’est la première fois que les fractales elles mêmes accèdent à la troisième dimension. Et cette découverte secoue la communauté des matheux. Sans entrer dans les détails rapidement vertigineux, rappelons que l’ensemble découvert par Benoit Mandelbrot (Lillois exilé aux US) est issu de l’élévation au carré de chaque point (nombres complexes) et génère des images qui gardent le même niveau de complexité et de détails quelque soit l’échelle, à l’infini. Les formes obtenues ressemblent beaucoup à celles rencontrées dans la nature : normal, la nature est régie par des lois fractales. Tripatouiller ces équations revient donc un peu à chatouiller les côtes de Dieu… Utilisant ce nouveau modèle, je me suis amusé à créer une vague qui rappelle un peu celle d’Okusai.

De son propre aveu, Daniel White n’est pas convaincu qu’il s’agisse d’un « vrai » volume de Mandelbrot, car il faut élever le point de base à la puissance 8 et non au carré pour obtenir des résultats intéressants. Mais c’est tout de même une avancée fantastique qui ouvre bien des pistes… Ci contre une représentation de l’ensemble de Mandelbrot en 3D que j’ai obtenue à partir des formules de White. Toute la question est de savoir comment utiliser ce nouvel algorithme et comment le visualiser ? Les logiciels générateurs de fractales habituels semblent inopérants. En fait il faut charger le fichier .pbk généreusement fourni par l’auteur dans un logiciel exotique : 3D mandelbulb raytracer en ayant préalablement installé le nom moins exotique Adobe pixel blender toolkit dont j’ignorais jusqu’à l’existence et qui est disponible dans les pages Labs d’Adobe qui regorgent de semblables richesses (On y trouve en ce moment une beta de Lightroom 3, si, si !). Dès lors, on a accès à un certain nombre de réglages et on peut triturer la Mandelbulb, la modifier et l’explorer à loisir.

Pour tout dire, cela me fait rêver. Car si pour l’instant toute la 3D produite se regarde en « 2D » sur écran ou sur papier, le temps n’est plus très loin ou nous allons pouvoir nous immerger directement dans un monde 3D… Explorer cette « sphère » de fond en comble (c’est à dire par définition à l’infini) en se promenant directement dedans doit être une expérience fascinante : de quoi occuper la vie d’un homme !

Autre perspective : la ressemblance avec la genèse de notre univers. On sait qu’au début il n’y avait rien qu’une « singularité », un néant pourvu d’information (mathématique ?) qui aurait donné naissance au big bang et à une expansion faisant apparaître tout ce qu’on connait y compris nous mêmes… Quand on cherche à remonter vers nos origines on se heurte au « mur de Planck« , une limite infranchissable au delà de laquelle les lois de la physique n’ont plus cours. Ceux qui ont entrepris ce périlleux voyage prétendent avoir trouvé un monde initial constitué d’un seul zéro. Une information capitale et fondatrice qui contiendrait toutes les autres à venir lors de l’expansion. Certains l’appellent Dieu… La Mandelbulb vue de très loin n’est qu’un point, mais en s’approchant, on s’aperçoit qu’elle contient un monde… Infini ! Embarquez pour le voyage dont on ne revient pas…

[media id=23 width=590 height=460]

Et si on poussait l’expérience plus loin pour faire entrer les fractales dans un monde à 4 dimensions ? La quatrième pouvant être considérée comme le temps et donc servir à « animer » la vision obtenue… Quel spectacle ferait-on naître sur l’écran ? Avis aux champions des nombres complexes !

Vous trouverez plus d’infos sur ces sujets passionnants sur le site Mathematical Imagery de Jos Leys avec un article en français. Et sur le site du mathématicien Paul Nylander.