Etes-vous Chrysodes ou Guilloché ? Avant de répondre, éteignez d’abord votre vêtement qui vient de prendre feu. En effet, je ne sais pas ce qui m’a pris de vous poser cette question « à brûle-pourpoint »… Alors que je vous l’aurait posée « tout à trac », vous n’auriez pas eu besoin d’extincteur… Mais, trêve de pyrotechnie linguistique, abordons le monde des chrysodes… Une fois n’est pas coutume, il ne s’agit pas cette fois de fractales mais de géométrie : une ligne continue qui obéit à des règles parfois très complexes jusqu’à recouper son point initial, ce qui génère des figures à la fois terriblement touffues et étrangement familières.

On trouvera ici l’explication des milliards de chrysodes générés par nos téléphones, sans qu’on s’en rende compte… Histoire de se la péter (voir ici) les chrysodes sont aussi présentes dans les réseaux neuronaux, la physique atomique, le rayonnement électromagnétique, acoustique, les résonances, et cela irait plus vite de préciser où elles ne sont pas…

Le terme Chryzode est dérivé du grec « Chrysos » (écriture en or) et « zooide » (cercle). Ceux ci, obtenus à partir de la théorie des nombres, nous font découvrir, par la géométrie, un monde fascinant à peine exploré au sein de structures arithmétiques. Issus de la représentation des nombres au moyen d’un cercle, ils nous renseignent aussi sur les architectures, les harmonies et les harmoniques des systèmes ondulatoires. Les chryzodes rendent compte, d’une manière nouvelle, des propriétés connues ou cachées des nombres entiers. Ils permettent de faire apparaître des phénomènes périodiques dans des univers complexes. Par exemple, Jean-Paul Sonntag, inventeur des chryzodes, a remarqué que l’un de ses chryzodes ressemblait fortement à une photographie obtenue par diffusion de rayon X à travers un cristal de protéine (nommée « la rubisco », clef de voûte de la photosynthèse) récemment observée par des biologistes. Ci dessous, un exemple simple de la construction de ces chrysodes.

Le guillochis quand à lui (un cas particulier des chrysodes) est utilisé comme élément décoratif en architecture, en horlogerie, en joaillerie, en coutellerie, en orfèvrerie… Par Fabergé, pour ses fameux oeufs, dès le 17ème siècle par exemple.

De nos jours encore, c’est l’irremplaçable « tour à guillocher », de conception plus que centenaire, qui permet à l’artisan de graver à l’ancienne des motifs d’un dixième de millimètre sur de l’or. Ces motifs viendront former des dessins d’une complexité d’autant plus grande que l’artisan saura manier l’outil avec sensibilité : l’opération, du début à la fin, est réalisée par la main de l’homme que l’instrument ne fait que prolonger. Les motifs les plus connus sont le clou de Paris, pavé de Paris, rayon de soleil, grains d’orge, vagues, vieux panier, damier, décor flammé, etc. On trouvera sur ce site plus de 180 exemples de la technique du guilloché dans toute sa diversité.

Présent sur les billets de banque et les documents d’identité, c’est aussi un élément de sécurité visant à compliquer la tâche des faussaires. En générant les courbes par ordinateur on s’est vite aperçu de l’infinie diversité des figures possibles, et de l’impossibilité de retrouver la formule originale en contemplant simplement la courbe finale, un peu à la manière de la factorisation des nombres premiers, utilisée dans les codes de sécurité des cartes bleues. C’est pourquoi les guillochis sont utilisés pour empêcher les contrefaçons de documents officiels (billets de banque, passeports, timbres …)

Je les ai utilisés ainsi pour créer les certificats d’authenticité de l’opération « adopter un requin » initiée par l’association Sharks Mission France, par exemple, comme on le voit en ouverture. Maintenant que vous avez lu çà, c’est trop tard. A l’instar des fractales, vous ne verrez plus jamais vos documents d’identité, passeports et autres billets de banque de la même façon : chèques, étiquettes de bière, de vin, timbres, coupons de cigarettes, les guillochis sont partout !…

On trouvera sur ces sites « à l’ancienne » publiés par des passionnés des informations plus détaillées sur ces mondes : chrysodes 1 et chrysodes 2.

Un jouet pour enfants ?

Mathématiquement, les guillochis sont des compositions de sinusoides. Ils décrivent le mouvement d’un point attaché à un disque parmi un ensemble de disques tournant les uns dans les autres. Et ce n’est qu’en travaillant sur ce billet que j’ai fait le rapprochement avec un jeu qui m’avait été offert dans mon enfance, bien avant l’avènement des « téléphones intelligents » : le spirographe ! Un ensemble de règles et de roues crantées imbricables avec des trous où enfoncer des stylos bille de couleur (noir, bleu, rouge, vert…) qui servait aussi à faire tourner les rouages. On générait ainsi, par définition des figures complexes, des chrysodes avant même d’en connaître le mot !

Et même des hypocycloides : un cercle dans un cercle. Mais, en gardant la même idée concernant la construction des chryzodes, on peut généraliser la construction de formes mathématiques en choisissant comme support une autre courbe fermée que le cercle. On distingue par exemple ces exotiques figures que je ne resiste pas à citer, dans leur merveilleuse clarté : Cardioïdes et chryzo-cardioïdes, hypocochoïdes et chryzo-hypocochoïdes, hypocycloïdes et chryzo-hypocycloïdes, épicycloïdes et chryzo-épicycloïdes… Amen !

Ci dessous quelques variétés de chrysodes étudiées et générées selon ce principe :

L’idée n’est pas nouvelle et les compagnons, charpentiers et autres artisans connaissent bien ces techniques de rotation et l’usage de la fameuse « corde à treize noeuds » de l’art gothique qui permit rien moins que d’ériger les cathédrales…

Les logiciels dédiés

Rosaces

Mandala Maker

Il existe une foultitude de modèles de guilloché dans les logiciels de traitement de texte, de mise et page et d’imagerie mais, pour plus de contrôle, également des logiciels dédiés.

Au rayon enfants ( sur les téléphones : pic, pic…) on peut trouver pas mal de choses. Sur iOS, par exemple, quantité de générateurs de mandalas et l’appli Rosaces pour jouer quelques minutes à créer de « magnifiques images basées sur les tables de multiplication, qu’on peut même animer »…

Sur PC il existe un logiciel dédié, très complet, Excentro, programmé par un psychopathe moscovite. A 500 € la version complète, comme on dit, « il faut en avoir l’utilité ». A vous de voir. Maintenant quand on considère la quantité de faux passeports et de faux billets en circulation…

Et aussi, sans solution de continuité et non testés : Guilloche generator, SymmetryWorks 6, Guillochograph, Cerberus, mais aussi des plugins pour Photoshop et Illustrator d’Adobe et également pour le concurrent de dessin vectoriel libre Inkscape. Voilà de quoi faire. Eh bien, chrysodez maintenant !

Dans JWildfire

Alors, on est fractaliste (pas fataliste) ou on ne l’est pas : Ces guillochis n’étant pas sans me rappeler quelques fractales « filaires » obtenues dans JWildfire, je me suis naturellement tourné vers ce logiciel pour poursuivre l’exploration des chrysodes.

D’abord avec la plus simple des variations : « Line » (un simple trait), combinée avec deux variations linéaires, comme dans ce script pour JWildfire : Self Contacting Binary Trees, conçu initialement pour produire des arbres de Pythagore. Mais en tournicotant les triangles et ajustant quelques réglages, on obtient bien une structure filaire et bourrée de symétrie, comme dans cet exemple ci-dessous de poumon de fumeur…

Mais nous sommes encore loin de la perfection géométrique des chrysodes… Autre script, MotifGen v2, qui génère des motifs similaires, ici avec Spirograph 3D, on retrouve bien l’aspect du jeu « Spirograph ».

Avec en première variation l’utilisation des « lignes de Maurer », en particulier « rose », comme dans les trois exemples ci-dessous, cette fois on y est : c’est bien du Guilloché !

Maurer lines

Pourquoi s’arrêter en si bon chemin ? J’explorais dans la foulée d’autres variations de JWildfire, notament les figures de Lissajoux que j’avais plutôt l’habitude de visionner jadis sur un oscilloscope : des chrysodes, sans aucun doute !

Lissajoux

Mes explorations plus ou moins fructueuses me menèrent dans des contrées étranges et sauvages, au gré des variations de rose, de violets et d’ors, au point d’en perdre la ligne…

Maurer lines

Ces courbes de Maurer (encore une espèce qui m’était inconnue) sont incontestablement les plus riches à explorer et pas seulement avec JWildfire : ci dessous de quoi jouer avec les simulateurs de Wolfram, l’éditeur du logiciel Mathematica. Oui, oui, vous pouvez bouger les curseurs : c’est fait pour ! De rien, ça me fait plaisir.

Allez, en couleurs maintenant :

Retour chez Julia

Parce que sinon, je vais vous en péter moi du guilloché de compet ! En vraies fractales ce coup ci, à coup de Julian’s et de Juliascope. Si ! Ca aura quand même plus de gueule… Plongez au centre et grattez moi là ! La Française des Jeux vient d’être privatisée, c’est officiel…