Une fois n’est pas coutume : je vais vous parler de quelque chose de simple :-). C’est même l’ensemble fractal le plus simple qui soit : des bâtons auxquels on enlève des morceaux… Un simple regard sur le dessin ci dessus et vous avez déjà compris : le vertige de l’infini vous prend. N’est ce pas ?

Cet ensemble aux propriétés fractales étonnantes à été découvert par Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, mathématicien allemand du début du 20ème siècle.

Cantor l’enchanteur

Il fut, entre autres, le fondateur de la théorie des ensembles, à partir de 1874. Théorie qui, entre parenthèse, nous a bien cassée les pieds à l’école quand les hautes instances qui président à l’éducation dans notre pays déclarèrent l’avènement des « maths modernes ». Un bon moyen de dégouter à jamais les élèves des maths et de les perdre dans les labyrinthes de l’abstraction bien avant qu’ils en comprennent l’intérêt…

Autre bizarrerie dont il est le découvreur : le théorème de Cantor qui implique l’existence d’une « infinité d’infinis »…

Ce mathématicien précurseur et génial a aussi définit rigoureusement les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est par ailleurs d’un grand intérêt philosophique, voire métaphysique, et a donné lieu à maintes interprétations et débats. En son temps, Cantor a été ainsi confronté à la résistance de la part des mathématiciens « classiques » de son époque, en particulier de Kronecker.

Les dépressions récurrentes du mathématicien, qui l’ont affecté de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribuées à l’attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès étaient surtout des manifestations d’une probable maladie bipolaire. Il serait facile d’ironiser sur l’inévitable dépression qui guette tous ceux qui s’embarquent dans des abstractions de ce niveau…

Aujourd’hui, la valeur des travaux de Cantor n’est plus discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un réel changement de paradigme. Autrement dit, une nouvelle façon d’envisager la réalité. David Hilbert a même affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Demande à la poussière…

Il découvrit aussi l’ensemble de Cantor (qu’on appelle aussi ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) qui est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle. Cet « ensemble fractal » se construit très simplement en enlevant le tiers médian d’un segment de droite de départ et en répétant ce procédé à l’infini, ce qui fini par « pulvériser » la barre en poussière comme on le voit dans l’illustration d’ouverture avec les 7 premières « itérations ».

La poussière de Cantor possède une dimension fractale de log2/log3 soit environ 0,63. En effet, en supprimant le segment central on crée 2 segments similaires dans un facteur de réduction égal à 1/3. Cette figure présente aussi une auto similarité à toutes les échelles, ce qui est la caractéristique des fractales.

Cet ensemble, si simple d’apparence, est d’une importance cruciale dans la compréhension du monde des fractales. On retrouve sa structure dans quantités de phénomènes naturels mais aussi dans les erreurs « aléatoires » des flux de données informatiques, dans les fluctuations boursières et autres domaines du chaos…

Une autre version de l’ensemble de Cantor est le carré de Cantor. Il est construit sur le même principe général, mais basé sur un carré : on part d’un carré que l’on découpe en 9 carrés de même taille, et on supprime tous les carrés n’étant pas dans un coin du carré de départ. L’ensemble est construit de façon itérative, en répétant cette action sur les nouveaux carrés.

J’ai tenté de reproduire ça dans Apophysis sans pouvoir m’empêcher de saupoudrer le tout d’un peu d’exotisme supplémentaire. Bon, ce ne sont pas de « vrais » carrés de Cantor mais on ne va quand même pas chipoter : la poussière, c’est de la poussière !

La même construction, en trois dimensions cette fois, conduit au cube de Cantor (à ne pas confondre avec l’éponge de Menger, nous en reparlerons…). Encore qu’en tronçonnant en diagonale une éponge de Menger, on obtienne un ensemble de Cantor…

Ci dessous, je n’ai pas résisté au plaisir d’animer deux petits cubes de Cantor, qui donnent sous un certain angle des flocons de neige. C’est de saison. Attention, c’est du rapide !

…

Le Dali l’aima

Pour finir sur une note artistique, il faut citer le peintre surréaliste Salvador Dali qui utilisa souvent les étrangetés mathématiques dans ses œuvres. Nous vous avons déjà parlé de l’usage des hypercubes mais on retrouve les carrés de Cantor dans son tableau Le visage de la guerre (La Cara De La Guerra), datant de 1940.

Un peu similaire à l’effet « Droste », courant aujourd’hui, on notera que la bouche et les yeux contiennent une tête, dont la bouche et les yeux contiennent une tête, dont la bouche et les yeux contiennent une tête… Bon, j’arrête là parce que l’infini, ça va me faire trop loin, à cette heure ci…. En tout cas, c’est un visage fractal, censé illustrer l’horreur infinie de la guerre d’Espagne.

Sur ce, je vous laisse, l’infini n’étant pas la porte à côté : vous n’êtes pas rendus. Ne faites pas trop de cauchemars ! Bonjour chez vous…